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LOS NÚMEROS REALES 
El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).
Los números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
=
3.141592653589...
DESIGUALDADES
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
- La notación a < b significa a es menor que b;
- La notación a > b significa a es mayor que b
estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
- La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
- La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
| PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES | |
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Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, resulta otra del mismo sentido. |
Ejemplos
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Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, resulta otra del mismo sentido. |
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| Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, resulta otra de sentido contrario. |
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INTERVALOS
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados:
a y b que se llaman extremos del intervalo.
CLASES DE INTERVALOS
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores quea y menores
que b.
(a, b) = {x / a < x< b}
Es decir no incluye los extremos
Intervalo cerrado, [a, b]: es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
Incluye los extremos.
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y
menores que b.
Existen además los intervalos infinitos.
Si a y b son reales, entonces se estableces los siguientes conjuntos infinitos.( en infinito siempre es abierto, es decir su usa
paréntesis)
INFINITOS ABIERTOS A LA DERECHA, CERRADOS A LA DERECHA, ABIERTOS A LA IZQUIERADA, ABIERTOS A LA DERECHA.
DESIGUALDADES LINEALES
También conocida como ecuación lineal, es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . ax + b es un binomio del primer grado.
Las desigualdades o inecuaciones son expresiones matemáticas que nos indican
que una cantidad es mayor o menor que otra. < >
Los signos de desigualdades son:
“<” menor que “>” mayor que
“≤” menor o igual
que “≥” mayor o igual que
Se llama primer miembro de la ecuación a la expresión que esta a la izquierda,
y segundo miembro a la que esta a la derecha del símbolo de desigualdad.
Las desigualdades se utilizan en el campo de la ingeniería, finanzas y en la
medicina principalmente.
FUNCIONES
Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f : D 
x f(x) =
y
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.
Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego
y= f(x)
Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).
x 
Conjunto inicial Conjunto final
Dominio Conjunto imagen o recorrido
Estudio del dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
Grafo de una función
Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes.
G(f) = {x, f(x) /x ∈ D(f)}
Expresión de una función mediante una gráfica
La gráfica de una función es la representación del conjunto de puntos que define a esa función. Mediante la
representación gráfica de una función podemos obtener información de la relación entre las dos variables. Es importante observar si tiene sentido o no unir los puntos obtenidos.
¿Todas las gráficas son funciones?
Una gráfica corresponde a una función cuando cada recta paralela al eje de ordenadas (eje Y) corta a la gráfica sólo una vez.
Una gráfica corresponde a una función cuando cada recta paralela al eje de ordenadas (eje Y) corta a la gráfica sólo una vez.
1- Concepto de función
Una función es una relación entre dos magnitudes, x y f(x), de manera que a cada valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda, que se llama imagen.
Por ejemplo: Indica si las siguientes relaciones definen una función o no.
a. A cada persona le corresponde su edad en años:
Respuesta: Si es una función, ya que a cada persona le corresponde una edad, es decir una sola imágen.
b. A cada persona le corresponde los idiomas que habla:
Respuesta: No es función, ya que a una persona le corresponden varios idiomas, es decir la imágen no es única.
c. Sabores de helado preferidos por los integrantes de un grupo de amigos:
Respuesta: No es función, ya que a cada integrante le corresponde más de un sabor de helado, es decir la imágen no es única.
Veamos algunos casos gráficos:
► Las funciones se pueden representar:
- Con fórmulas, por ejemplo: f(x) = 3x2 – 1.
- Con una tabla de valores
- Con un gráfico
2- Variables dependientes e independientes
A las magnitudes que intervienen en una función se las llama variables:
→ Variable independiente. Es la que se fija primero. Se le suele asignar la letra x.
→ Variable dependiente. Es la que se deduce de la variable independiente. Se suele designar con la letra y, o como f(x) : Se lee " f de x".
Decir que " y " es función de " x " equivale a decir que " y " depende de " x ".
Por ejemplo: Determina la variable dependiente e independiente
a. La cantidad de kilogramos de pan y el precio total
Respuesta: El precio que pagamos por el pan depende del número de kilogramos que compremos.
Por lo tanto:
- la variable dependiente (y) sería el precio, ya que depende de la cantidad de kilogramos que compramos.
- La variable independiente (x) será los kilogramos de pan.
b. El tiempo de juego y el dinero gastado
Respuesta: El dinero gastado depende del tiempo, por lo que:
- El dinero es la variable dependiente (y)
- y el tiempo es la variable independiente (x)
3- Dominio y recorrido
- El dominio de una función son los valores que puede tomar la x. Se expresa como Dom ( f ).
- El recorrido de una función son los valores que toma f(x) ⇒ y. Se expresa como Rec ( f ).
- Si te entregan los datos en una tabla de valores:
El dominio son los valores de x (variable independiente)
El recorrido son los valores de y (variable dependiente)
- Si te entregan los datos en un gráfico:
El dominio se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje horizontal marcando el extremo izquierdo y el derecho.
El recorrido se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje vertical, desde el punto más bajo hasta el más alto
Por ejemplo: Indica el dominio y el recorrido de las funciones siguientes:
a. Completa la siguiente tabla para los valores dados siendo f(x) = –3x + 2
Sustituimos en la fórmula de la función cada uno de los valores de x y obtenemos el correspondiente valor de f(x).
Por lo tanto:
Dom (f)= {-1, 0, 1, 2}
Rec (f) = {-1, 0, 5, 8}
4- Representación gráfica de una función
Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente ( x) se representan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependiente ( y ) se representan sobre el eje vertical o de las ordenadas.
Para representar gráficamente una función:
1.º Se identifica la variable independiente y la variable dependiente.
2.º Se hace una tabla de valores.
3.º Se dividen los ejes de coordenadas en partes iguales que sean acordes con los resultados de la tabla.
4.º Se representan los pares de valores y se obtiene un conjunto de puntos aislados.
5.º Si tiene sentido se unen los puntos, obteniéndose una línea que constituye la gráfica de la función.
Ejemplo:
Grafica esta función: y = x + 6
- Para obtener los puntos podemos hacer una tabla de valores.
| x | y |
| 0 | y = 0 + 6 → 6 |
| 1 | y = 1 + 6 → 7 |
Los puntos a graficar serían : ( 0, 6) (1, 7)
Resumen:
- Se dice que una correspondencia entre dos conjuntos es una función, cuando a cada elemento del primer conjunto se le hace corresponder de forma única un elemento del
segundo que llamamos imagen.
- Dominio o campo de existencia es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente.
- Recorrido, imagen o rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente.
- Para representar gráficamente una función, se forma la tabla de valores correspondiente. Cada pareja se identifica con un punto del plano cartesiano.
- Representamos en el eje de abscisas la variable independiente. Usualmente se denota como x, y al eje como OX.
- La variable dependiente se representa en el eje de ordenadas. Se le suele denotar como y. Y el eje como OY.
FUNCION LINEA Y AFIN
Funciones: conceptos básicos
Función lineal ⇒ y = m x
La fórmula de la función lineal es: y = m x donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinación). Estas rectas pasan siempre por el origen de coordenadas punto (0, 0). La ordenada en el origen n es 0.
Estudiar y representar la siguiente recta ⇒ y = 2x
La pendiente de la recta es 2 ( valor de m, coeficiente que hay delante de x ), cuando m es positiva la recta es creciente. Pasa por el punto (0, 0)
| Tabla de valores de la función | |||
|---|---|---|---|
| x | 1 | 0 | -1 |
| y | 2 | 0 | -2 |
Gráfica de la función
Función afin ⇒ y = m x + n
La fórmula de la función afin es: y = m x + n donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinación). Si m es positiva le recta es creciente. Si m es negativa la recta es decreciente.
La ordenada en el origen es n, punto donde la recta corta al eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son: (0, n)
Estudiar y representar la siguiente recta ⇒ y = 2x + 3
La pendiente de la recta es 2 , por ser positiva la recta es creciente. La ordenada en el origen n = 3, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 3)
| Tabla de valores de la función | |||
|---|---|---|---|
| x | 1 | 0 | -1 |
| y | 5 | 3 | 1 |
Gráfica
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx + c
donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax 2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .
Representación gráfica de una función cuadrática
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola .
|
| Parábola del puente, una función cuadrática. |
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática .
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático
(la ax 2 ) :
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como
en
f(x) = −3x 2 + 2x + 3
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
Ejemplo
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
xv = − (−4) / 2 = 2 yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
